Tema 1.

Segunda quincena de septiembre y primera semana de octubre

-  Valor de posición de una cifra en un número. Equivalencias.

-  Los números de seis y de siete cifras: la centena de millar, la unidad de millón.

-  Comparación y ordenación de números: mayor que, menor que, igual a.

-  Aproximación de números al millar y al millón.

-  Sistema de numeración romano. Lectura y escritura.

-  La suma como unión y como incremento. Algoritmo de la suma con llevadas.

-  Propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

-  La resta como disminución, como comparación y como complemento. Algoritmo de la resta con llevadas.

-  El paréntesis en sumas y restas combinadas.

NÚMEROS DE 6 CIFRAS

En un número de seis cifras, la primera cifra de la derecha son las unidades, la segunda las decenas, la tercera las centenas, la cuarta las unidades de millar, la quinta las decenas de millar y la sexta las centenas de millar.

La equivalencia entre ellas es:

1 Decena = 10 unidades
1 Centena = 100 unidades
1 Unidad de millar = 1.000 unidades
1 Decena de millar = 10.000 unidades
1 Centena de millar = 100.000 unidades

Un número, por ejemplo el 345.635, se puede descomponer:

3 centenas de millar = 3 x 100.000 = 300.000 unidades
4 decenas de millar = 4 x 10.000 = 40.000 unidades
5 unidades de millar = 5 x 1.000 = 5.000 unidades
6 centenas = 6 x 100 =600 unidades
3 decenas = 3 x 10 = 30 unidades
5 unidad = 5 unidad

Podemos comprobar que:

300.000 + 40.000 + 5.000 + 600 + 30 + 5 = 345.635

1- Comparación de números de seis cifras:

¿Cuál es mayor y cual es menor?

Primero comenzamos comparando las centenas de millar, aquel que tenga la cifra mayor es el mayor.

CM	DM	UM		C	D	U
5	1	8	.	4	1	7
2	1	6	.	3	2	8

En este caso, el primer número tiene 5 centenas de millar y el segundo 2, luego el primero es mayor.

Si un número no tiene centena de millar es como si ésta fuera cero.

CM	DM	UM		C	D	U
	8	6	.	2	3	6
3	2	7	.	4	1	3

En este caso, el primer número no tiene centenas de millar (es igual a 0) y el segundo 3, luego el segundo es mayor.

Si los dos números tienen la misma centena de millar, tenemos que comparar la decena de millar, aplicando el mismo procedimiento.

Y si tuvieran la misma decena de millar, tendríamos que comparar la unidad de millar. Y si también tuvieran la misma unidad de millar, habría que comparar las centenas, y si también coincidieran habría que comparar las decenas, y si también fueran iguales las unidades.

CM	DM	UM		C	D	U
8	2	1	.	3	7	2
8	2	1	.	3	7	1

En este ejemplo, los dos números tienen la misma centena de millar, la misma decena de millar, la misma unidad de millar, la misma centena y la misma decena. Sólo se diferencian en la unidad: el primero tiene 2 y el segundo 1, luego el primer número es mayor.

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.-Señala en los siguientes números qué representa la cifra 4:

2.- Indica cuantas unidades son:

3.- Escribe los siguientes números:

4.- Ordena los siguientes números de mayor a menor.

NÚMEROS DE 7 CIFRAS

En un número de siete cifras, la primera cifra de la derecha son las unidades, la segunda las decenas, la tercera las centenas, la cuarta las unidades de millar, la quinta las decenas de millar, la sexta las centenas de millar y la séptima las unidades de millón.

Este número se lee:

Tres millones setecientos dieciocho mil seiscientos cuarenta y seis

La equivalencia entre ellas es:

1 Decena = 10 unidades
1 Centena = 100 unidades
1 Unidad de millar = 1.000 unidades
1 Decena de millar = 10.000 unidades
1 Centena de millar = 100.000 unidades
1 Unidad de millón = 1.000.000 unidades

El número del ejemplo se puede descomponer:

3 Unidades de millón = 3 x 1.000.000 = 3.000.000 unidades
7 centenas de millar = 7 x 100.000 = 700.000 unidades
1 decena de millar = 1 x 10.000 = 10.000 unidades
8 unidades de millar = 8 x 1.000 = 8.000 unidades
6 centenas = 6 x 100 = 600 unidades
4 decenas = 4 x 10 = 40 unidades
6 unidades = 6 unidades

Podemos comprobar que:

3.000.000 + 700.000 + 10.000 + 8.000 + 600 + 40 + 6
= 3.718.646

Cuando realizamos sumas o restas tenemos que poner cada cifra en su columna:

Escribir la siguiente suma: 3.456.908 + 6.768.945 + 34.008

	M		CM	DM	UM		C	D	U
	3	.	4	5	6	.	9	0	8
	6	.	7	6	8	.	9	4	5
+				3	4	.	0	0	8

Escribir la siguiente resta: 8.345.002 - 768.004

	M		CM	DM	UM		C	D	U
	8	.	3	4	5	.	0	0	2
-			7	6	8	.	0	0	4

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Señala en los siguientes números que representa la cifra 5:

2.- Indica cuantas unidades son:

3.- Escribe los siguientes números:

APROXIMACION A LA DECENA / A LA CENTENA / A LA UNIDAD DE MILLAR

 

1.- Aproximación a la decena

Aproximar un número a la decena es buscar un número múltiplo de 10 (su última cifra es un cero) que más se le aproxime:

Por ejemplo, el número 87:

Su decena inferior es 80 y su decena superior es 90. Ahora se trata de ver a cual de ellas se aproxima más, a la inferior o a la superior:

Si el número termina en 5 o en una cifra inferior se aproxima a la decena inferior.
En cambio si termina en 6 o en una cifra superior se aproxima a la decena superior.

Nuestro número, 87, termina en 7. Esta cifra es mayor que 5 por lo que lo aproximaremos a la decena superior.

De hecho se puede ver en el gráfico que 87 está más cerca de 90 que de 80.

Veamos otro ejemplo: 42:

El múltiplo de 10 más cercano por debajo es 40 y el más cercano por arriba es 50.

Vemos que el número termina en 2; al ser una cifra inferior a 5 hay que aproximarlo a la decena inferior, es decir a 40.

Se puede ver en el gráfico que 42 está más cerca de 40 que de 50.

2.- Aproximación a la centena

Aproximar un número a la centena es buscar un número múltiplo de 100 (sus dos últimas cifras son cero) que más se aproxime al número en cuestión.

Si el número termina en 50 o en una cifra inferior se aproxima a la centena inferior. En cambio, si termina en 51 o en una cifra superior se aproxima a la centena superior.

Veamos un ejemplo: el número 278.

Vemos que 278 se encuentra entre las centenas 200 y 300, pero que está más cerca de esta última. Por lo tanto lo aproximaremos a 300.

De hecho, 278 termina en 78 que es superior a 50, por lo que lo aproximamos a la centena superior.

Vamos a ver otor ejemplo: 421.

421 se encuentra entre las centenas 400 y 500, pero está más cerca de la primera. Por lo tanto lo aproximaremos a 400.

De hecho, 421 termina en 21 que es inferior a 50, por lo que lo aproximamos a la centena inferior.

3.- Aproximación a la unidad de millar

Aproximar un número a la unidad de millar es buscar un número múltiplo de 1.000 (sus tres últimas cifras son cero) que más se aproxime al número en cuestión.

Si el número termina en 500 o en una cifra inferior se aproxima a la unidad de millar inferior. En cambio, si termina en 501 o en una cifra superior se aproxima a la unidad de millar superior.

Veamos un ejemplo: el número 7.256.

Vemos que 7.256 se encuentra entre las unidades de millar 7.000 y 8.000, pero que está más cerca de la primera. Por lo tanto lo aproximaremos a 7.000.

De hecho, 7.256 termina en 256 que es inferior a 500, por lo que lo aproximamos a la unidad de millar inferior.

Vamos a poner otor ejemplo: 5.689.

5.689 se encuentra entre las unidades de millar 5.000 y 6.000, pero está más cerca de la segunda. Por lo tanto lo aproximaremos a 6.000.

De hecho, 5.689 termina en 689 que es superior a 500, por lo que lo aproximamos a la unidad de millar superior.

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1. Aproxima los siguientes números a la decena.

2. Aproxima los siguientes números a la centena.

3. Aproxima los siguientes números a la unidad de millar.

LOS NUMEROS ROMANOS

 

Los romanos utilizaban las siguientes cifras:

I : vale 1
V: vale 5
X: vale 10
L: vale 50
C: vale 100
D: vale 500
M: vale 1.000

Y combinando estas cifras según determinadas reglas conseguían escribir todos los números.

Una de estas reglas decía que algunas de estas cifras se podían repetir seguidas hasta 3 veces:

Las cifras que sí se podían repetir eran:

I / X / C / M

Y las que no se podían repetir eran:

V / L / D

Siguiedo la regla anterior tendríamos, por ejemplo:

I: vale 1
II: vale 2
III: vale 3
X: vale 10
XX: vale 20
XXX: vale 30
C: vale 100
CC: vale 200
CCC: vale 300
M: vale 1.000
MM: vale 2.000
MMM: vale 3.000

En los números romanos se ponen cifras pequeñas al lado de cifras mayores:

a) Si se ponen a su derecha suman:

VI = 5 + 1 = 6

b) Si se ponen a su izquierda restan:

IV = 5 - 1 = 4

Si una cifra pequeña va entre dos cifras mayores,una a su derecha y otra a su izquierda, por ejemplo:

X I V

¿Suma I a la X o resta a la V ? Siempre va restando al número mayor que tenga a su derecha (en este caso a la V).

Si se escribe una raya encima de un número, ese número va multiplicado por 1.000:

_

X

X con una – arriba es: 10 x 1.000 = 10.000

Vamos a escribir ahora del 1 al 20 en número romanos:

SUMA CON LLEVADAS

Al realizar una suma comenzamos sumando las unidades. Si al sumarlas el resultado fuera de una sola cifra (es decir, de 0 a 9) escribimos el resultado y pasamos a sumar las decenas.

Pero ¿y si al sumar las unidades el resultado fuera de dos cifras (es decir, 10 o superior)? Entonces escribimos en el resultado sólo la cifra de la derecha y la de la izquierda la añadimos a la columna de las decenas.

..........

Como la suma de las unidades es igual a 13 (tiene dos cifras), coloco la cifra de la derecha (3) en el resultado y la de la izquierda (1) la sumo a la columna de las decenas.

Y seguimos sumando:

.......

Esto que hemos visto (suma con llevadas) también puede ocurrir en la columna de las decenas (o de las centenas, o de las unidades de millar,...).

Siempre operamos de la misma manera:

.......

Como la suma de las decenas es igual a 15 (tiene dos cifras), coloco la cifra de la derecha (5) en el resultado y la de la izquierda (1) la sumo a la columna de las centenas.

Y seguimos sumando:

.......

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Resuelve las siguientes sumas:

2.- Resuelve las siguientes sumas:

3.-Descubre el número que falta:

RESTA CON LLEVADAS

Al efectuar una resta comenzamos por las unidades. Puede ocurrir que las unidades del sustraendo sean mayores que las del minuendo.

Las unidades del sustraendo (7) son mayores que la del minuendo (4). A 4 no le puedo quitar 7 (que es mayor). ¿Qué podemos hacer?

Solución: A las unidades del minuendo le ponemos un 1 delante con lo que se transforma en 14. Ahora a 14 sí le podemos restar 7.

El 1 que le hemos puesto delante al 4 se lo restamos a la siguiente cifra del minuendo.

Y seguimos restando:

..........

La resta con llevadas también puede ocurrir cuando restamos las decenas (cuando las decenas del sustraendo son superiores a las decenas del minuendo) y actuaremos de la misma manera:

Veamos un ejemplo:

..........

Las decenas del sutraendo (5) son mayores que las del minuendo (2), A 2 no le podemos quitar 5. Para poder hacerlo le vamos a poner al 2 un 1 delante.

A 12 si le podemos quitar 5:

El 1 que le hemos puesto delante al 2 se lo vamos a restar a la siguiente cifra del minuendo.

Y seguimos restando:

La resta con llevadas puede ocurrir igualmente cuando restamos las centenas o las unidades de millar. Siempre actuaremos de la misma manera.

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Resuelve las siguientes restas:

2.- Resuelve las siguientes restas:

3.-Descubre el número que falta: